1 00:00:04,780 --> 00:00:09,560 å¤§å®¶å¥½ï¼Œæ¬¢è¿Žæ”¶çœ‹çº¿æ€§ä»£æ•°ä¹ é¢˜è¯¾ã€‚ 2 00:00:09,560 --> 00:00:13,250 æˆ‘ä»¬åœ¨è¯¾å ‚ä¸Šå¦ä¹ 了两个éžå¸¸é‡è¦çš„概念, 3 00:00:13,250 --> 00:00:19,900 线性空间和线性å空间。那么我们æ¥ä¸€èµ·å›žé¡¾ä¸€ä¸‹ä»€ä¹ˆæ˜¯çº¿æ€§ç©ºé—´å‘¢ï¼Ÿ 4 00:00:19,900 --> 00:00:25,150 当我们讨论一个空间的时候,我们实际上是看一个集åˆï¼Œ 5 00:00:25,150 --> 00:00:33,840 那这个集åˆä¸å°†å«æœ‰å¾ˆå¤šå…ƒç´ ,è¦æˆä¸ºä¸€ä¸ª 线性空间的è¯è¿™äº›å…ƒç´ è¦æ»¡è¶³ä¸¤ä¸ªæ¡ä»¶ï¼Œ 6 00:00:33,840 --> 00:00:42,770 ç¬¬ä¸€ï¼Œå¦‚æžœä½ å¯¹å…¶ä¸ä»»ä½•ä¸€ä¸ªå…ƒç´ 乘以一个常数的è¯ï¼Œ 那么得到的结果还应该在这个集åˆä¸ã€‚ 7 00:00:42,770 --> 00:00:48,610 ç¬¬äºŒï¼Œå¦‚æžœä½ é€‰å–集åˆä¸çš„ä»»ä½•ä¸¤ä¸ªå…ƒç´ å¯¹å®ƒä»¬æ±‚å’Œçš„è¯ï¼Œ 8 00:00:48,610 --> 00:00:57,260 结果还应该在æ¤é›†åˆä¸ã€‚如果这两个æ¡ä»¶ åŒæ—¶æ»¡è¶³çš„è¯ï¼Œé‚£ä¹ˆè¿™ä¸ªé›†åˆå°±æˆä¸ºä¸€ä¸ªçº¿æ€§ç©ºé—´ã€‚ 9 00:00:57,260 --> 00:01:06,120 在线性空间ä¸ï¼Œå¦‚æžœä½ å¯ä»¥æ‰¾åˆ°ä¸€ä¸ªå集 使得该å集对于两个æ¡ä»¶ä¹ŸåŒæ—¶æ»¡è¶³çš„è¯ï¼Œ 10 00:01:06,120 --> 00:01:10,860 那么这个å集就将æˆä¸ºè¯¥çº¿æ€§ç©ºé—´çš„线性å空间。 11 00:01:10,860 --> 00:01:17,360 今天我们è¦ç”¨è¿™é“例题æ¥å¤ä¹ 这两个éžå¸¸é‡è¦çš„性质。 12 00:01:17,360 --> 00:01:23,990 我们æ¥çœ‹X1å’ŒX2都是R3ä¸çš„两个列å‘é‡ï¼Œ 13 00:01:23,990 --> 00:01:28,730 我已ç»åœ¨è¿™ä¸ªå›¾ç‰‡ä¸ç”»å‡ºx1在这里, 14 00:01:28,730 --> 00:01:38,210 X2在这里,那么我们è¦åšçš„是首先è¦æ‰¾å‡º X1生æˆçš„线性å空间,记为V1。 15 00:01:38,210 --> 00:01:42,940 让我æ¥è§£é‡Šä¸€ä¸‹ä»€ä¹ˆå«åšX1生æˆçš„线性å空间。 16 00:01:42,940 --> 00:01:51,590 实际上我们就是è¦æ‰¾ä¸€ä¸ªæœ€å°çš„线性å空间, 使得X1包å«åœ¨è¯¥çº¿æ€§å空间ä¸ã€‚ 17 00:01:51,590 --> 00:01:57,520 åŒæ ·æˆ‘们也è¦æ‰¾åˆ°x2生æˆçš„线性å空间,记为V2。 18 00:01:57,520 --> 00:02:03,750 éšåŽæˆ‘们è¦æ¥è€ƒè™‘一下V1å’ŒV2的交集。 19 00:02:03,750 --> 00:02:10,010 我们è¦æ¥è®¨è®ºä¸€ä¸‹V1å’ŒV2的交集是ä¸æ˜¯ä¹Ÿæž„æˆä¸€ä¸ªçº¿æ€§å空间。 20 00:02:10,010 --> 00:02:15,830 这是第一个问题。第二个问题我们è¦æŠŠX1å’ŒX2放在一起考虑, 21 00:02:15,830 --> 00:02:21,460 我们è¦è€ƒè™‘X1å’ŒX2生æˆçš„线性å空间,记为V3。 22 00:02:21,460 --> 00:02:29,430 那么一个很自然的问题就应该是V3是ä¸æ˜¯å°±ç‰äºŽV1å’ŒV2的并集呢? 23 00:02:29,430 --> 00:02:37,110 在我们解决这些问题之åŽæˆ‘们还è¦æ‰¾åˆ°V3ä¸çš„一个线性å空间记为S, 24 00:02:37,110 --> 00:02:42,070 使得X1å’ŒX2å‡ä¸ä¸ºSä¸çš„å…ƒç´ ã€‚ 25 00:02:42,070 --> 00:02:50,270 这就是第二é“问题。最åŽæˆ‘们è¦æ¥çœ‹ä¸€ä¸‹ V3与XYå¹³é¢çš„交集。 26 00:02:50,270 --> 00:02:57,920 当然XYå¹³é¢ä¹Ÿæ˜¯R3的一个线性å空间,所以最åŽä¸€ä¸ªé—®é¢˜æˆ‘们ä»ç„¶æ˜¯çœ‹ 27 00:02:57,920 --> 00:03:03,490 两个线性åç©ºé—´çš„äº¤é›†ï¼ŒçŽ°åœ¨è¯·ä½ æš‚åœè¿™ä¸ªè§†é¢‘, 28 00:03:03,490 --> 00:03:08,920 å°è¯•ç‹¬ç«‹æ±‚解,我将éšåŽå›žæ¥å®Œæˆè¿™ä¸ªå›¾ç‰‡ã€‚ 29 00:03:14,885 --> 00:03:20,850 å¥½ï¼Œä½ æ‰¾åˆ°è¿™äº›çº¿æ€§å空间了å—? 30 00:03:20,850 --> 00:03:27,430 一个éžå¸¸æ–¹ä¾¿çš„方法就是在这个图片ä¸ï¼Œç”»å‡ºè¿™äº›çº¿æ€§å空间。 31 00:03:27,430 --> 00:03:37,330 我们先æ¥ä»Žç¬¬ä¸€ä¸ªé—®é¢˜å¼€å§‹ã€‚现在我们è¦æ‰¾åˆ°å‘é‡x1生æˆçš„线性å空间, æ¥å›žå¿†çº¿æ€§ç©ºé—´çš„第一个æ¡ä»¶ï¼Œ 32 00:03:37,330 --> 00:03:44,210 我们需è¦å¯¹X1乘以任æ„一个常数结果还应该维æŒåœ¨ 33 00:03:44,210 --> 00:03:49,520 该线性å空间ä¸ã€‚é‚£ä¹ˆä¹Ÿå°±æ˜¯è¯´æˆ‘ä»¬è‡³å°‘åº”è¯¥åŒ…å« 34 00:03:49,520 --> 00:03:55,780 一整æ¡ç»è¿‡X1的直线,所以我们现在把这个直线画出, 35 00:03:55,780 --> 00:04:03,330 ä½ å¯ä»¥ç®€å•çš„å°†X1 å‘æ£å两个方å‘åŒæ—¶å»¶ä¼¸ï¼Œ 36 00:04:03,330 --> 00:04:06,670 希望我画出的线是直的。 37 00:04:06,670 --> 00:04:12,610 那么这æ¡ç›´çº¿åŒ…å«X1, 38 00:04:12,610 --> 00:04:17,120 è¿™æ¡ç›´çº¿è‡³å°‘应该在我们线性å空间V1ä¸ã€‚ 39 00:04:17,120 --> 00:04:22,980 下é¢å†æ¥çœ‹çœ‹V1ä¸é™¤äº†è¿™æ¡ç›´çº¿ä»¥å¤–è¿˜æœ‰æ²¡æœ‰å…¶ä»–çš„å…ƒç´ ã€‚ 40 00:04:22,980 --> 00:04:28,110 那么我们需è¦è€ƒè™‘第二个æ¡ä»¶ä¹Ÿå°±æ˜¯è¯´ï¼Œåœ¨å¯¹ä»»æ„两个 41 00:04:28,110 --> 00:04:33,240 å…ƒç´ æ±‚å’Œçš„æ—¶å€™ï¼Œæ‰€å¾—ç»“æžœå¹¶ä¸ç¦»å¼€è¯¥é›†åˆã€‚ 42 00:04:33,240 --> 00:04:41,920 é‚£ä¹ˆå¦‚æžœä½ å¯¹ä»»æ„直线上的两点求和, å¾ˆæ˜¾ç„¶ä½ æ‰€å¾—åˆ°çš„ç‚¹è¿˜åº”è¯¥åœ¨è¿™æ¡ç›´çº¿ä¸Šï¼Œ 43 00:04:41,920 --> 00:04:47,890 也就是说这æ¡ç›´çº¿æœ¬èº«å°±å·²ç»æ»¡è¶³äº†çº¿æ€§å空间的两个æ¡ä»¶ï¼Œ 44 00:04:47,890 --> 00:04:55,790 那很显然,这就是我们è¦æ‰¾çš„X1生æˆçš„线性å空间V1。 45 00:04:55,790 --> 00:05:00,310 åŒæ ·æˆ‘们å¯ä»¥å¯¹X2è¿›è¡Œä¸€æ ·çš„æ“作。 46 00:05:00,310 --> 00:05:03,740 å‘X2çš„æ£å两个方å‘延伸, 47 00:05:10,820 --> 00:05:17,900 那么这一æ¡ç›´çº¿ 48 00:05:17,900 --> 00:05:23,830 就是包å«X2的直线,åŒæ ·çš„è¿™æ¡ç›´çº¿ 49 00:05:23,830 --> 00:05:30,700 也构æˆäº†ä¸€ä¸ªçº¿æ€§å空间,也就是X2所生æˆçš„线性å空间记为V2。 50 00:05:30,700 --> 00:05:35,950 好下é¢æˆ‘们æ¥çœ‹V1å’ŒV2的交集是什么? 51 00:05:35,950 --> 00:05:41,275 很显然V1å’ŒV2是R3ä¸çš„两æ¡ç›´çº¿ï¼Œ 52 00:05:41,275 --> 00:05:46,600 并且它们肯定ä¸å¹³è¡Œï¼Œå› 为X1å’ŒX2肯定ä¸å¹³è¡Œçš„, 53 00:05:46,600 --> 00:05:54,530 那么V1å’ŒV2的交集就åªæœ‰å¯èƒ½æ˜¯å®ƒä»¬å”¯ä¸€ç›¸äº¤çš„一点, 54 00:05:54,530 --> 00:06:00,810 那么V1å’ŒV2在哪里相交呢?很显然V1ç»è¿‡åŽŸç‚¹ï¼Œ 55 00:06:00,810 --> 00:06:07,110 V2也ç»è¿‡åŽŸç‚¹ï¼Œé‚£ä¹ˆè¿™ä¸ªå”¯ä¸€çš„交集就应该为原点。 56 00:06:07,110 --> 00:06:12,230 这是一个å•ç‚¹é›†ï¼Œè¿™ä¸ªé›†åˆåªæœ‰ä¸€ä¸ªå…ƒç´ 也就是0,0å…ƒç´ ï¼Œ 57 00:06:12,230 --> 00:06:19,520 原点。好现在我们æ¥çœ‹è¿™ä¸ªé›†åˆæž„ä¸æž„æˆä¸€ä¸ªçº¿æ€§å空间呢? 58 00:06:19,520 --> 00:06:26,510 通常我们说形容一个空间的时候,我们通常会想象该空间ä¸åº”è¯¥æœ‰å¾ˆå¤šå…ƒç´ ï¼Œ 59 00:06:26,510 --> 00:06:35,410 但是这里åªæœ‰ä¸€ä¸ªå…ƒç´ ,但å³ä½¿æ˜¯å¦‚æ¤è¿™ä¸ªé›†åˆæ»¡è¶³ 线性空间所需è¦çš„两个æ¡ä»¶ï¼Œ 60 00:06:35,410 --> 00:06:41,890 我们å¯ä»¥çœ‹ä½ 用原点0å…ƒç´ ä¹˜ä»¥ä»»ä½•å¸¸æ•°ï¼Œä½ è¿˜æ˜¯å¾—åˆ°0, 61 00:06:41,890 --> 00:06:50,630 那么0åŠ ä¸Š0也åŒæ ·æ˜¯0,也就是说å³ä½¿è¿™ä¸ªé›†åˆ åªæœ‰ä¸€ä¸ªå…ƒç´ ,它åŒæ ·ä¹Ÿæž„æˆäº†R3ä¸çš„一个线性å空间。 62 00:06:50,630 --> 00:06:55,950 这就完æˆäº†ç¬¬ä¸€é“问题。下é¢æˆ‘们æ¥çœ‹ç¬¬äºŒä¸ªé—®é¢˜ï¼Œ 63 00:06:55,950 --> 00:07:02,990 第二个问题我们è¦è€ƒè™‘X1å’ŒX2åŒæ—¶ç”Ÿæˆçš„线性å空间记为V3, 64 00:07:02,990 --> 00:07:08,650 我们首先æ¥çœ‹V3是ä¸æ˜¯å°±ç‰äºŽ 65 00:07:08,650 --> 00:07:14,005 V1与V2的并集?一个简便的办法就是说, 66 00:07:14,005 --> 00:07:23,510 æ¥çœ‹V1å’ŒV2æž„ä¸æž„æˆä¸€ä¸ªçº¿æ€§å空间?所以我们现在æ¥è€ƒè™‘, V1å’ŒV2的并集。 67 00:07:23,510 --> 00:07:32,512 æ¥å¯¹V1并V2检验那两个æ¡ä»¶ï¼Œ é¦–å…ˆä½ å¯¹å…¶ä¸ä»»ä½•ä¸€ä¸ªå…ƒç´ 乘以任何一个常数的è¯ï¼Œ 68 00:07:32,512 --> 00:07:38,942 看起æ¥ç¡®å®žæ˜¯ä¸ç¦»å¼€è¿™ä¸ªå¹¶é›†çš„ï¼Œå› ä¸ºè¯¥å…ƒç´ è¦ä¹ˆåœ¨V1上, 69 00:07:38,942 --> 00:07:46,230 è¦ä¹ˆåœ¨V2上,å†ä¹˜ä»¥ä»»ä½•ä¸€ä¸ªå¸¸æ•°çš„è¯è¿˜åº”该在V1或V2上。 70 00:07:46,230 --> 00:07:55,190 所以第一个æ¡ä»¶å®žé™…上是满足的,但是我们æ¥çœ‹ç¬¬äºŒä¸ªæ¡ä»¶ï¼Œ 第二个æ¡ä»¶è¯´æˆ‘们对任æ„ä¸¤ä¸ªå…ƒç´ æ±‚å’Œçš„è¯ï¼Œ 71 00:07:55,190 --> 00:08:01,160 å’Œä¹Ÿä¸€æ ·è¦åœ¨è¯¥é›†åˆä¸ï¼Œé‚£ä¹ˆV1并V2满ä¸æ»¡è¶³è¿™ä¸ªæ¡ä»¶å‘¢ï¼Ÿ 72 00:08:01,160 --> 00:08:10,370 æ¥çœ‹ä¸€ä¸ªç®€å•çš„例åX1åŠ X2, 所以X1åŠ X2ç‰äºŽä»€ä¹ˆå‘¢ï¼Ÿ 73 00:08:10,370 --> 00:08:16,390 我们对那两个å‘é‡çš„å„个åæ ‡æ±‚å’Œï¼Œå®ƒåº”è¯¥ç‰äºŽ 74 00:08:16,390 --> 00:08:24,600 2,5,3, 我们还å¯ä»¥å°†è¿™ä¸ªå’Œåœ¨è¿™ä¸ªå›¾ç‰‡ä¸ç”»å‡ºï¼Œ 75 00:08:24,600 --> 00:08:30,310 它大概的ä½ç½®åº”该是在这里。 76 00:08:34,895 --> 00:08:44,440 好这就是X1åŠ ä¸Š X2。很显然的, 77 00:08:44,440 --> 00:08:49,290 这个点已ç»è¿œç¦»äº†V1并V2, 78 00:08:49,290 --> 00:08:54,710 所以这个和是并ä¸åœ¨V1并V2ä¸çš„。 79 00:08:54,710 --> 00:08:59,880 这就说明V1å’ŒV2并ä¸æž„æˆä¸€ä¸ªçº¿æ€§å空间, 80 00:08:59,880 --> 00:09:05,050 那么X1,X2生æˆçº¿æ€§å空间一定ä¸ç‰äºŽV1并V2。 81 00:09:05,050 --> 00:09:09,910 现在我们æ¥ç ”究到底什么应该是V3? 82 00:09:09,910 --> 00:09:15,560 V3是由X1,X2生æˆçº¿æ€§å空间,由如上的 83 00:09:15,560 --> 00:09:21,450 论è¯çœ‹å‡ºï¼Œè‡³å°‘V3应该包å«äºŽç±»ä¼¼äºŽè¿™æ ·å¯¹è§’çº¿çš„å…ƒç´ ï¼Œ 84 00:09:21,450 --> 00:09:28,440 ä½†æ˜¯äº‹å®žä¸Šå› ä¸ºæˆ‘ä»¬å¯ä»¥é€‰å–ä»»æ„V1å’ŒV2上的点åšæ±‚和,它实际上包å«çš„ 85 00:09:28,440 --> 00:09:37,140 是整个V1与V2生æˆçš„å¹³é¢ï¼Œ ä¹Ÿå°±æ˜¯è¯´å®žé™…ä¸Šæˆ‘ä»¬çœ‹åˆ°çš„åº”è¯¥æ˜¯è¿™ä¸ªæ— é™å¤§çš„å¹³é¢ã€‚ 86 00:09:37,140 --> 00:09:46,150 è¿™æ‰åº”该是我们è¦æ‰¾çš„ V3ã€‚è¿™ä¸ªç»“æžœå¾ˆè‡ªç„¶ä½ åœ¨ä¸‰ç»´ç©ºé—´ä¸è§‚察两æ¡ç›´çº¿ï¼Œ 87 00:09:46,150 --> 00:09:54,917 这两æ¡ç›´çº¿ç›¸äº¤äºŽåŽŸç‚¹ï¼Œé‚£ä¹ˆå®ƒä»¬æ‰€ç”Ÿæˆçš„线性å空间,很æ£å¸¸çš„应该是, 88 00:09:54,917 --> 00:09:59,790 包å«è¿™ä¸¤æ¡ç›´çº¿çš„å¹³é¢ï¼Œè¿™å°±æ˜¯V3。 89 00:09:59,790 --> 00:10:06,284 好现在我们è¦æ‰¾åˆ°çš„就是V3ä¸çš„一个线性å空间S, 90 00:10:06,284 --> 00:10:11,778 使得X1并ä¸å±žäºŽS, X2也ä¸å±žäºŽS, 91 00:10:11,778 --> 00:10:20,270 我们能ä¸èƒ½æ‰¾åˆ°è¿™æ ·ä¸€ä¸ªçº¿æ€§å空间呢? å…¶å®žå¦‚æžœä½ è§‚å¯Ÿè¿™ä¸ªå›¾ç‰‡çš„è¯ï¼Œ 92 00:10:20,270 --> 00:10:29,262 结果已ç»å¾ˆæ˜¾ç„¶äº†ï¼Œæˆ‘们就å¯ä»¥åˆ©ç”¨ 这个å‘é‡æ¥å¼ æˆä¸€ä¸ªå空间,很显然这个 93 00:10:29,262 --> 00:10:36,760 å‘é‡åœ¨V3ä¸é‚£ä¹ˆå®ƒç”Ÿæˆçš„线性å空间也一定包å«äºŽV3ä¸ã€‚ 94 00:10:36,760 --> 00:10:45,110 下é¢æˆ‘们æ¥çœ‹è¿™ä¸ªå‘é‡å¼ æˆçš„线性å空间,åŒç†ï¼Œ ä½ å¦‚æžœå‘æ£å两个方å‘延伸这个å‘é‡çš„è¯ï¼Œ 95 00:10:45,110 --> 00:10:49,520 所得到的这æ¡ç›´çº¿ï¼Œç»è¿‡åŽŸç‚¹çš„直线, 96 00:10:49,520 --> 00:10:55,120 就是我们所è¦æ‰¾åˆ°çš„线性å空间记为S。 97 00:10:55,120 --> 00:11:00,300 S是V3的一个线性å空间, 98 00:11:00,300 --> 00:11:07,670 但是很显然,X1ä¸å±žäºŽS,X2也ä¸å±žäºŽS,这就是我们所è¦æ‰¾åˆ°çš„S。 99 00:11:07,670 --> 00:11:11,765 下é¢æˆ‘们å¯ä»¥çœ‹æœ€åŽä¸€ä¸ªé—®é¢˜ã€‚ 100 00:11:11,765 --> 00:11:20,754 最åŽä¸€ä¸ªé—®é¢˜æ˜¯è¦ç ”究V3这个平é¢ä¸Ž XYå¹³é¢çš„交集。那么在3D空间ä¸ï¼Œ 101 00:11:20,754 --> 00:11:29,271 两个平é¢ç›¸äº¤çš„结果应该是什么呢?很显然两个平é¢ç›¸äº¤åº”该得到一æ¡ç›´çº¿ï¼Œ 102 00:11:29,271 --> 00:11:34,239 那如何找到这个直线呢?æ¢å¥è¯è¯´æˆ‘们è¦æ‰¾åˆ° 103 00:11:34,239 --> 00:11:39,680 一æ¡ç›´çº¿ï¼Œä½¿å¾—它åŒæ—¶åœ¨V3与XYå¹³é¢ä¸ï¼Œ 104 00:11:39,680 --> 00:11:46,780 æ¥è§‚察XYå¹³é¢ä¸çš„点,它所具有的性质就是 Zåæ ‡åº”è¯¥ä¸ºé›¶ã€‚ 105 00:11:46,780 --> 00:11:55,328 é‚£ä¹ˆå¦‚æžœä½ åœ¨è§‚å¯ŸV3这个由X1å’ŒX2å¼ æˆçš„线性å空间的è¯ï¼Œ 106 00:11:55,328 --> 00:12:04,652 ä½ å¾ˆå®¹æ˜“è§‚å¯Ÿåˆ°X2这个å‘é‡ æ˜¾ç„¶åœ¨V3ä¸ï¼Œä½†åŒæ—¶å®ƒçš„Zåæ ‡ä¹Ÿä¸ºé›¶ï¼Œ 107 00:12:04,652 --> 00:12:10,350 所以V3交 XYå¹³é¢çš„è¯ï¼Œ 就应该由X2所 108 00:12:10,350 --> 00:12:16,825 å¼ æˆçš„线性å空间给出,那么这里我们知é“,它其实 109 00:12:16,825 --> 00:12:22,005 å°±ç‰äºŽV2,好这就是ç”案,我们看到 110 00:12:22,005 --> 00:12:30,553 V3是R3的线性å空间,XYå¹³é¢ä¹Ÿæ˜¯çº¿æ€§å空间,它们的交集 111 00:12:30,553 --> 00:12:34,960 åˆå¾—到一个R3ä¸çš„线性å空间。 112 00:12:34,960 --> 00:12:38,250 我希望通过这个例题我们å¯ä»¥ 113 00:12:38,250 --> 00:12:45,250 了解这ç§çº¿æ€§ç©ºé—´ä¸Žçº¿æ€§å空间å¯ä»¥é€šè¿‡ä¸€ä¸ªå›¾ç‰‡æ¥æ¯”较形象地表示。 114 00:12:45,250 --> 00:12:50,190 æˆ‘å¸Œæœ›è¿™ä¸ªä¾‹é¢˜å¯¹ä½ æœ‰æ‰€å¸®åŠ©å¸Œæœ›ä¸‹æ¬¡å†è§ã€‚谢谢。 115 00:12:50,190 --> 00:12:55,570 Funding for this video was provided by the Lord Foundation. 116 00:12:55,570 --> 00:13:00,440 To help ocw continue to provide free and open access MIT courses, 117 00:13:00,440 --> 00:13:07,690 please make a donation at ocw.mit.edu/donate.